Метаформальная система: завершение теории языка
Автор этого неофициального перевода настоятельно рекомендует работать с оригиналом текста для более глубокого и всестороннего понимания.
Оригинал: https://cosmosandhistory.org/index.php/journal/article/viewFile/740/1214/3174
Аннотация: В обычной теории языков есть два уровня: первый сосредоточен на изучении, преподавании и использовании обычных языков, второй — на формальных языках и формальных системах, используемых в математике, эмпирических науках, аналитической философии, компьютерном программировании, в разработке программного обеспечения, в сферах искусственного интеллекта и смежных технологий. На обоих уровнях стандартная теория языков дуалистична, она определяет языки в отрыве от их области дискурса и воспринимает атрибуты в отрыве от их объективных примеров, минуя важные свойства и функции, которые обычно обеспечиваются или выполняются носителями языка, автоматами или физическими системами, которым они присущи. Такое отделение языков от их вселенных и от таких необходимых лингвистических функций как отображение, обработка, интерпретация и коммуникация влечет глубинные эпистемологические следствия, ограничивая научное знание препятствием лингвистического формулирования какого-либо проверяемого вразумительного описания реальности. Данная статья предлагает в дополнение к двум уже имеющимся уровням стандартной теории языков, включающим естественные и формальные языки и системы, признать существование третьего «метаформального» уровня, на котором языки и их вселенные «свернуты» в уникально структурированный полностью включающий себя метаязык — Метаформальную систему, которая восстанавливает недостающий лингвистический функционал, используя критерий супертавтологической внятности для общего сопряжения языков с их вселенными на фундаментальном уровне общей структуры и динамики, таким образом восстанавливая потенциал для всеохватывающего проверяемого и полностью связного понимания реальности, которую мы с вами разделяем.
Ключевые слова: Теория языков, генеративная грамматика, метаформальный, формальный язык, формальная система, метаязык, КТМВ.
Природа языка
Обычно язык, считающийся по большей части искусственной человеческой концепцией, определяется в зависимости от взглядов на философию, психологию, социологию и педагогику, часто с акцентом на культуре и политике, а также, в зависимости от разнообразных технических возможностей, относящихся в основном к изучению и применению автоматов. Это придало особое значение лингвистическому разнообразию и контекстной конкретике, где вариации, вместо сложения к содержательным общим характеристикам, сокращались. Таким образом, примитивное определение языка исключает любую отсылку к содержанию, применению или структуре, сводя его к абстрактному набору «строк» (линейных последовательностей звуков или символов) лишенных смысла.
Все существующие определения языка — даже те, которые глубоко рассматривают его структуру, продукции, зарождение и эволюцию, или связаны с его формализацией или вычислительными применениями — этот язык недооценивают, ограничивая его определение и игнорируя его вездесущесть. В действительности язык не зависит от капризов человеческой культуры и психологии, предпочтений академиков или возможностей, функционала или архитектуры вычислительной машинерии. По сути, язык — это наиболее общая и самая необходимая абстрактная структура в математике, и по отношению к динамической абстрактной структуре которого все другие структуры являются частными случаями лишь благодаря математическим описаниям и возможности быть выраженными. Его всеобщность отражается в том факте, что он может быть одинаково хорошо описан как объект, атрибут, процесс или операционная среда, и, по сути, как все перечисленные концепции в бесшовном сопряжении.
С технической точки зрения, одной из наиболее весомых особенностей языка является то, что его изучение неизбежно самореферентно. Имеется в виду, что любая попытка определить, описать, проанализировать или выстроить язык использует для этого сам язык. Самореферентность — это мощная и слабоисследованная особенность языка; особенность, которая на протяжении веков сбивала с толку и завораживала человечество. Но на стыке, где язык встречается с мышлением, она также является источником логических и эпистемологических усложнений. Частично из-за этих усложнений язык сталкивался с многочисленными неудачами: от кучи самопротиворечивого и внешне непродуктивного философского многословия до проблем неопределенности и неразрешимости формальных языков-систем.
Многие верят, что на этом история заканчивается, и что существа, использующие язык, такие как мы, никогда не поймут или не придут к согласию касательно природы населяемой нами реальности. Но к счастью для науки, философии и интеллектуальной судьбы человечества, безоговорочная капитуляция перед эпистемологическим релятивизмом оказывается преждевременной.
Слои теории языка
Стандартная теория языка определяет два основных класса языков: естественный и формальный; каждый занимает свою нишу. Эти ниши могут соответственно быть описаны следующим образом:
(1) Преимущественно академическое изучение овладения и использования человеческих языков и структуры и грамматики разных естественных языков. Естественный язык — это любой человеческий язык, будь он устным, письменным или жестовым, который появился спонтанно и эволюционировал естественно повторением и вариацией, обычно вместе с родной культурой определенного населения. Естественные языки используются для ежедневного самовыражения и коммуникации, публичных выступлений, написания литературы, управления, торговли и других нужд, для которых важны легкость и свобода выражения и понимания.
(2) (Преимущественно академическое и промышленное) изучение и применение формальных языков и систем и вычислительных языков. Формальные языки часто являются просто естественными языками, подвергшимися некоторой формализации, как правило, с удобным упрощением и технической стандартизацией. Их используют там, где необходима ясность, точность и однозначность. Среди применений — математика, эмпирические науки, компьютерные науки, инженерия и другие сферы, где точные технические характеристики должны быть выражены и переданы с максимальной точностью и минимальной семантической неоднозначностью.
Аналогично тому, как было трудно переоценить важность естественных языков для человеческой психологии, социальной организации и психосоциальной эволюции, так же трудно переоценить важность формальных языков для науки и технологии. Математические науки преимущественно полагаются на формальные системы, и особенно на «доказательные системы», для достижения своих результатов. Эмпирические науки аналогично полагаются на формальные системы, которые теоретически сопряжены с наблюдением и экспериментом, как того требует научный метод. Что касается компьютерных наук и информационных технологий, которые поддерживают современную цивилизацию, то они без сомнения зависят от языков так же сильно, как и от компьютеров.
Если мы говорим про естественные и формальные языки как про первые два уровня современной теории языков, то можно определить и третий. Если первые два уровня дуалистические — они рассматривают языки в изоляции от их вселенных — третий является целостным и самодуальным, структурно объединяя язык в единую связную идентичность на наивысшем возможном уровне дискурса. Имея внутреннее определение по типу внутренней геометрии в его свойстве включения самого себя и внешней независимости, этот язык состоит исключительно из идентичностей или связных дуальных сопряжений язык-вселенная, а также операторов и операций, генерирующих и выполняющих по отношению к ним действия.
Этот логико-метафизический уровень теории языка предназначен для формулирования и рассмотрения фундаментальных метафизических и металогических вопросов касательно всеохватывающей и потому полностью включающей себя реальности, по отношению к которой не существует ничего более глубокого или обширного, к которой невозможны внешние отсылки, и в которой буквально все сводится к самоотсылке самоопределенной совокупности языка-вселенной, у которой нет фона, и к которой ничто мыслимое не является внешним. Это уровень, на котором язык сливается со вселенной, и на котором знаки и символы сливаются с объектами, интерпретациями и интерпретаторами. Или более человеческим языком:
(3) Уровень, на котором язык может продуктивно использоваться для заключительной идентификации и анализа реальности частично и в целом, иначе говоря, на котором язык и вселенная обобщенно сопряжены с точки зрения общей структуры и вразумительности. Именно на этом уровне истинная и конечная природа реальности — то, что мы можем знать о ней точно на основании нашей способности ощущать её и делать о ней логические выводы — может быть плодотворно исследована.
Там, где обманчивая дуалистическая изоляция языка от его вселенной затмевает их истинные отношения и мешает определенности, заключительная идентификация невозможна. Но поскольку физическая реальность на самом деле может быть четко идентифицирована с помощью прямого наблюдения и логической дедукции, без которых ни наука, ни человеческий опыт не могли бы существовать, и поскольку дедуктивная логика является формальным языком, присущим мышлению, эта предполагаемая лингвистическая неспособность является необоснованной и иллюзорной. Следовательно, третий уровень теории языков, предложенный тут, уже имеет неоспоримое основание.
Давайте более детально исследуем эти уровни лингвистической теоретизации.
Уровень 1: Естественные языки
Под естественным языком обычно понимают систему и метод устного или письменного выражения и коммуникации среди людей, чьим разнообразным обществам, нациям или культурам он свойственен. Естественные языки «естественно эволюционируют» в реальном мире в общинах носителей, зачастую вместе с их культурой и обычаями.
Естественные языки состоят из структурированного общепринятого употребления слов, то есть осмысленных элементов устного и письменного языка, упорядоченных в предложения (если не употребляются отдельно). Предложение — это завершенная последовательность слов, которая как правило содержит подлежащее, а также сказуемое, которое приписывает определенный атрибут, часто с действием, подлежащему, составляя таким образом атрибутивное утверждение. Предложение должно содержать главную часть, которая может быть как сама, так и вместе с одной или более придаточных частей; также оно может принимать форму вопроса, императива или восклицания без утраты атрибутивной функциональности.
Некоторый естественный язык L = (Σ, Γ, S_Σ) может быть определен через (1) конечный алфавит Σ = (S_1, S_2,…, S_n) интерпретированных терминальных символов S_i, которые могут быть линейно скомбинированы для формирования письменных слов и высказываний, и часто ассоциируются со звуками, произносимыми в том же порядке, а также любых переходящих нетерминальных символов; (2) грамматику или набор структурных и трансформационных правил Г, которые определяют, какие строки или последовательности символов алфавита и слов являются «правильно сформулированными», другими словами, какие строки являются потенциально осмысленными высказываниями языка и (3) множество строк S_Σ, определенное через Г. Хотя в высказываниях есть только терминальные символы Σ, Г может использовать любые нетерминальные символы Σ как средство для своих целей, вставляя и затем заменяя их другими символами, чтобы создать или «вывести» терминальные выражения как конечный результат деревьев вывода, которые ортогональны к самим выражениям в упорядочивании их шагов вывода. В таком случае, алфавит Σ может быть разделен на два множества N и T, которые содержат соответственно нетерминальные и терминальные символы: Σ = (N, T).
Есть два способа сформировать строку или выражение в L. Можно написать выражение как линейную последовательность терминальных символов и слов, используя набор орфографических правил, согласно которым один символ или слово следуют за другим путём конкатенации или композиции. С другой стороны, можно положиться на правила продукции или генерации, которые состоят из синтаксических форм и правил замещения. Продукция работает ортогонально к самим строкам, выводя их заменой нетерминальных символов, набирая уточнения по всей их длине. Генеративная грамматика начинается с универсального начального символа из L — компактного способа представить L как завершенный выразительный потенциал, и постепенно замещает нетерминальные символы другими нетерминальными символами, и в итоге терминальными символами конечного выражения.
Грамматика естественного языка может быть сложной и непредсказуемой, и, как правило, раскрывается глубоким эпистемологическим исследованием; до тех пор, пока она не «формализована» исчерпывающим перечнем её правил, формализованным не может быть и генерируемый этой грамматикой язык, и формальное определение L = (Σ, Γ, S_Σ) остается бесполезным для его реконструкции. Критерий формализации, описанный и проиллюстрированный выше ссылается на Зеллига Харриса, который первым описал генеративную грамматику в современном понимании (1951) и его студента Ноама Хомского, который впоследствии эту концепцию назвал и изложил (1956).
Естественный язык фундаментально концептуален; его слова представляют собой концепции или умственные абстракции. Слова и знаки, приписываемые концепциям, более-менее произвольны; они могут разниться до тех пор, пока сами концепции сохраняют свою целостность. Однако есть некоторые противоречия касательно отношения между лингвистической структурой и мышлением. Теории этого отношения варьируются от универсализма (мышление определяет язык), через взаимную независимость, и аж до сильного лингвистического детерминизма (язык определяет мышление), рассматривая и промежуточные уровни зависимости.
Обратите внимание, что хотя это изложение естественного языка ссылается на репрезентацию концепций, оно нигде не ссылается на объективное содержание, значение или интерпретацию его высказываний. И хотя одна из основных функций языка — отражать объективные факты про реальный мир — факты, которые естественно отражают его структуру — концепция естественного языка определяется в полном отвлечении от внешней вселенной, с которой часто обходятся так, будто она полностью «независима» от языка и мышления. Эта мнимая взаимная независимость языка и вселенной — как, например, когда L = (Σ, Γ, S_Σ) упускает символ U в значении «вселенной», изолируя таким образом L от своей области дискурса — эквивалентна пагубной форме дуализма, которая абстрактно, искусственно и ложно разделяет элементы неразрывной пары.
Проще говоря, способность языка точно воспроизводить внешнюю вселенную оказывается слишком надежной и обширной, чтоб такой недвусмысленный дуализм удержался. И не сказать, что нам всегда удается предвидеть фактические наблюдения на основе одного лишь языка; скорее, дуализм просто не может объяснить саму возможность приведения языка в соответствие к реальности (и наоборот). Если бы дуализм был оправдан, и если бы язык и реальность были действительно разделены и независимы, тогда не существовало бы основания для сведения их воедино, и ни наука, ни другая форма человеческого опыта не была бы возможной. Потому, приведенное выше определение, L = (Σ, Γ, S_Σ), обманчиво в том смысле, что его скобки, как непреодолимые стены, изолируют человеческий мыслительный язык от вселенной, которую он так эффективно, но невероятно отображает.
Некоторые читатели распознают, что это просто формальное обобщение часто цитируемой «невероятной эффективности математики в естественных науках» до нематематических языков и реальности в целом. Это также утверждение, что любой язык, который действительно поддерживает идентификацию его вселенной, должен всюду сопрягаться с этой вселенной классической двузначной логикой, которая обеспечивает распознавание через 1|0, которыми U и её компоненты могут быть распознаны. Это сопряжение в действительности крайне глубоко и не используется в полную силу.
Уровень 2: Формальные языки и системы
Любой естественный язык можно формализовать до стадии, когда известен его алфавит и формализована его грамматика, иными словами, когда они полностью определены эмпирическим исследованием и исчерпывающе перечислены. То есть формальный язык — это естественный язык L = (Σ, Γ, S_Σ), для которого элементы его сигнатуры и правила грамматики исчерпывающе перечислены.
К формальному языку L обычно негласно прилагается метаязык L’, который поддерживает описание и анализ его структуры, функциональности и применения. К нему также прилагается логика нулевого и первого порядков, в которых он нуждается для собственной вразумительности и функциональности. И, будучи отделенной, логика, которая формулируется независимо и неизменно по отношению к другим языкам, к которым она применяется, сама является формальным языком, который согласуется с тем же общим описанием. К тому же, L должен включать те абстрактные качественные и количественные концепции и отношения, которые могут быть необходимы для конкретной идентификации его содержания.
В отличие от, как правило, сложной грамматики естественного языка, грамматика искусственного формального языка по типу логики высказываний намеренно проста. Её свойства не открываются эмпирически, а выбираются для точного выражения и анализа. В частности, логика высказываний предназначена для анализа и описания отношений между конъюнкциями, дизъюнкциями, импликациями и отрицаниями (и, или, если-то, тогда и только тогда, не), связывая произвольные высказывания (сентенциальные переменные) одно с другим, иначе говоря, предназначена для того, чтобы точно смоделировать ключевые свойства логических операторов и связей, которые естественно присущи человеческому мышлению, и утверждения можно было надежно и последовательно формулировать и твердо классифицировать как истину или ложь.
Любой достаточно выразительный язык L с легко определяемой (или хотя бы с исчислимой) грамматикой может быть включен в формальную систему Т, которая прилагает к L дедуктивный аппарат или набор аксиом и правил вывода, предназначенных для систематического исследования определенной конкретной вселенной U (область дискурса или знания). Данные из U поступают в Т, а в Т извлекаются выводы касаемо U.
Формальную систему Т можно определить как T = (L, A, I), где L — формальный язык, А — набор аксиом и I — это набор правил вывода. Дедуктивный аппарат {A,I} можно рассматривать как расширенную версию грамматики Г в языке L, несколько стирая грань между формальной системой и формальным языком. Однако L и T часто можно отличить по двум связанным фактам: (1) синтаксические формы L обычно содержат нетерминальные символы, которые представляют классы слов или «части речи», а аксиомы Т — обычно нет; и (2) продукция высказываний по правилам Г обычно включает нетерминалы, а получение выводов из аксиом, используя правила вывода Т, — обычно нет.
Логика предикатов, включая логику высказываний, является подразумеваемой для любой формальной системы Т. Это так, потому что логика должна распределятся по каждой части и по каждому элементу Т, как бы Т ни была поделена и квантована. Для формирования атрибутов необходима логика предикатов, а для их распознавания от логических дополнений необходима логика высказываний; распознавания без логики не бывает. Также в любой формальной системе Т неявно присутствует метаязык, который определяет и сопрягает её компоненты.
Второй уровень стандартной теории языков, который изучается преимущественно в математической логике и компьютерных науках, включает изучение и применение этих формальных языков и систем, способы доказательства теорем из их аксиом и их обоснованные интерпретации или модели в их соответствующих областях дискурса U.
Ограничения формальных систем
Несмотря на их недостатки, формальные системы — это мощные инструменты для (частичного) понимания. Тем не менее формальный язык не включает свои множества, процессоры, свою вселенную, свою модель, способность определить, как он эволюционирует (телезис) и даже способность выполнять свои собственные лингвистические операции как считывание, запись и удаление, не говоря уже и про более сложные операции, такие как выражение и передача смысла. Именно поэтому он не может быть самостоятельным, и полагается на носителей языка и иногда компьютеры. Иначе говоря, он не может смоделировать идеально включающую себя вселенную (или разделить с ней структуру). Для этого ему надо уподобиться тому, от чего он неявно зависит.
Обратите внимание, что формальные системы ограничены таким же образом, как и языки в целом; так же как и L = (Σ, Γ, S_Σ), формальные системы T = (L, A, I) не содержат символа U, который отображает внешнюю вселенную. Еще раз, скобки по сути закрывают L и T, изолируя их и не давая никаких гарантий, что Т может быть успешно интерпретирована в любой U. Следовательно, эта U не обязана сохранять структуру Т, обеспечивать Т моделью или согласовываться с Т как семантическое содержание; пока она не исследована полностью и не поставлена в исчерпывающее соответствие с Т, реальное отношение между Т и U является неопределенным. Короче говоря, формальная система идет вместе с тем, что философы называют проблемой индукции.
Это теоретико-модельное формулирование проблемы индукции влечет за собой следующее: пока теории разных наук, философии и математики воспринимаются как формальные системы (или даже как что-то менее надежное), они не могут обладать определенностью относительно реальной вселенной, и потому не могут давать достоверное понимание реальности. И ведь научное исследование реальности действительно ограничено именно таким образом. Благодаря научному методу, науки были ограничены до установления предварительных соответствий между формальными системами и наборами физических наблюдений (или субъективных концептуализаций), и потому обречены на непроверяемость и эпистемологическую неполноценность.
Хотя может быть сложно установить, что определенный язык имеет модель в определенной вселенной, особенно когда соответствие должно контролироваться и поддерживаться «в реальном времени» с эволюцией U, есть случаи, в которых теоретико-модельное соответствие может восприниматься как само собою разумеющееся. Например, мы можем тривиально определить U на L; опираясь на внутреннюю последовательность L, мы можем просто определить U как вселенную, которая соответствует L. Именно так часто обходятся с математическими теориями и их внутренними концептуальными языками; их область дискурса просто определяется как любая вселенная U, иными словами, любой набор объектов, отношений и функций, в которых L можно смоделировать с помощью общей структуры, то есть с помощью непустого структурного пересечения L и U.
С другой стороны, чтобы определить L на U, структура U должна быть известна, а сама U может и не быть полностью известной (к примеру, в эмпирических науках ничто касаемо видимой вселенной не может восприниматься как само собою разумеющееся). В данном случае напрашивается вопрос: существует ли формальный язык L, чья совместимость с любой конкретной U может восприниматься как само собою разумеющееся?
При условии, что U и её содержимое понятно и узнаваемо, ответ — да. Любая форма идентификации, будь она концептуальной, перцептивной или какой-либо еще, приравнивается к распознаванию чего-то от его логического дополнения. Для этого требуется формальный язык логики, особенно двузначная логика высказываний, которая работает как «язык распознавания» U. Благодаря одной лишь возможности постижения определенной вселенной — из-за её понятности — она должна всюду включать формальную систему «логику». И наоборот, любая часть или аспект U, лишенный логической структуры, не может быть идентифицирован, а потому и распознан как часть или аспект U.
Короче говоря, логика явно служит своего рода «языком идентификации» для U — чем-то вроде набора критериев, с помощью которых компьютер распознает ввод, или, дуально, атрибут, который проявляет U, чтобы быть идентифицированной. Но она не может делать это сама, ведь что бы логика ни различала от его логического дополнения, оно должно проявлять нелогичные свойства — размер, цвет, продолжительность и т.д. — примером которых оно должно быть. Потому получается, что мы должны сложить эти логические и нелогические ингредиенты вместе, чтобы получить функциональный язык идентичности L. Но у нас остается проблема, ведь логика высказываний может идентифицировать только полные атрибуции. Также должно быть что-то, способное сопрягать атрибуты в L с объектами в U, и хотя логика предикатов обладает средствами для количественной оценки, она не способна создавать или выбирать такие нелогические атрибуты, чтобы сопоставить их с содержанием U.
В эмпирических науках (и в большинстве других, в том числе гуманитарных) прямо отрицается, что физическая вселенная и её содержимое или состояния возникают в сопряжении с L. Взамен, считается, что физическая реальность эволюционирует согласно её собственным внутренним причинно-следственным процессам, механизмам и законам, несмотря на очевидный факт, что «законы» — это формальные (абстрактные, качественные) сущности. Обычно понимается, что причинно-следственная связь дуалистична; она требует, чтобы реальность эволюционировала независимо от какого-либо языка, с причинно-следственными функциями, которые метрично параметризуются исключительно объектами и независимой средой, на которую они влияют. Но это ведет к противоречию: это снова неявно предполагает, что U уже сопряжена с внутренним языком самоидентификации, который обеспечивает ей атрибуты и значения, с которых формируются состояния, из которых состоят вводы и выводы причинно-следственных функций. Словом, дуалистическая языко-зависимая физическая причинно-следственная связь влечет за собой тот факт, что U уже неразрывно сопряжена с собственным языком-идентичностью, который, как мы видим, идентичен нашему.
Наконец мы осознаем, что, возможно, подобрались к сути: каким-то образом, понятная вселенная — ту, которую мы можем действительно идентифицировать — уже должна быть сопряжена с языком-идентичностью. Факт в том, что там, где дана любая мера понятности, структура уже должна разделяться разумом и внешней реальностью; разум должен быть вооружен когнитивным языком идентичности L, с помощью которого U может быть распознана, и как дополнение к сказанному, U должна быть способна отображать содержание, узнаваемое L. Если эти дуальные требования не выполнены, у разума нет возможности достигать внешней реальности, и у внешней реальности нет возможности контактировать с разумом. И это, конечно, означает, что вопрос по сути таков: что следует из того факта, что разум и реальность уже разделяют структуру, которая включает логику и разные не логические атрибуты?
Это не единственная проблема в преодолении лингвистического дуализма. Стандартным дуалистическим языкам не хватает некоторых свойств включения самого себя. Им недостает замкнутости по отношению не только к моделированию и получению содержания (отсылка), но и к таким функциям, как считывание, запись, продукция, обработка, отображение, коммуникация, и к выбору или выполнению любого конструктивного или ограничительного процесса или (математического) отображения, которые могут генерировать выражения или ограничивать исчерпывающий лингвистический потенциал, представленный {S_Σ}, исчерпывающим набором всех грамматически правильно сформированных строк. Для того, чтоб определить и выполнить эти операции, языкам необходимы ингредиенты, которых нет в их стандартных дуалистических определениях. Дуалистическая теория языков исключает все, что делает язык телическим или динамическим, отбрасывая это на пользователя языка или программную автоматику, или перекладывая это на какой-то случайный или детерминистический физический процесс, который в этом и не нуждается.
Метаформальная система: неформальное введение
Из-за временных и пространственных ограничений, этот пункт лаконичный, и не является обосновывающим. Мы даже не надеемся дать что-то кроме краткой выжимки и поверхностного рассмотрения Метаформальной системы в этой статье.
Во-первых, можно задаться вопросом, почему эта статья называется «Метаформальная система», а не «Метаформальные системы». Это потому, что единственная известная существующая метаформальная система — это та, которая соответствует реальности, какой мы её знаем, и насколько нам известно, для нашего рассмотрения нет других реальностей (эта система была известна последние несколько десятилетий как Когнитивно-теоретическая модель вселенной или КТМВ; К. Ланган, 2002). Есть другие по сути метафизические концепции, включая «Многомировую» интерпретацию квантовой механики Эверетта (1956) и «Гипотезу математической вселенной» Тегмарка, которая спекулятивно ссылается на другие возможные реальности (2008). Но такие отсылки связывают те «другие» возможные реальности с этой, подразумевая, что итоговая сеть взаимосвязей представляет собой одну всеохватывающую «конечную реальность». Именно эту конечную реальность Метаформальная система собой и представляет.
Метаформальная система — это «расширенная формальная система», которая идеально включает себя, иначе говоря, которая имеет все свойства и все ингредиенты, необходимые для существования и функционирования, включая недавно упомянутые (считывание, запись, отсылка, интерпретация, продукция, обработка, отображение, коммуникация, потенциация, определение и т.д.) Словом, все эти функции выполняются объектами М (синтакторами, телорами), используя грамматику М.
Даже несмотря на то, что Метаформальная система может удерживать в своей структуре произвольное количество формальных систем, она может быть представлена или описана своей собственной формальной системой. Именно так она представлена тут, на бумаге и на дисплеях, которые контролируются паттернами битов в электронных устройствах. Однако, несмотря на тот факт, что Метаформальная система может быть описана формальной системой, иначе говоря, интегрирована в формальную систему как описываемое содержание, она меняет правила игры, и отображает на собственную структуру описывающую её формальную систему вместе с любыми пользователями языка, считывающими формальное описание. Связывая себя с собственными ингредиентами, М помещает себя в собственную вселенную самодуальным грамматическим отображением вместимости, которое называется инволюцией или сворачиванием, и потому является метаязыком не только упомянутых формальных систем, но и самой себя.
Метаформальную систему можно сравнить со своего рода «замкнутой оболочкой» для формальных систем. Оболочкой является супертавтологический метаязык (Ланган, 2002, 2017), в котором формальные системы «размещены» или определены на некоторое место в М как содержание отсылки на основании общей структуры. Более конкретно, они размещены в L_M — формальном или лингвистическом аспекте Метаформальной системы М, который является языком-идентичностью для U_M, содержащим все абстрактные свойства, достаточные для идентификации не только U_M, но и всего, что может быть идентифицировано в онтической идентичности M = L_M|U_M, включая все её внутренние под-идентичности или распознаваемые сопряжения атрибут | значение. Некоторые из этих идентичностей являются телорами, которые определены относительно функциональной способности и включат человеческих существ; М поглощает человеческих пользователей языка и выполняемые ими лингвистические функции, прочно встраивая их в метаформальную структуру реальности.
Программа Метаформалиста, как она была в прошлом названа (Ланган, 2018), требует, чтобы язык работал как идентичность, а точнее, идентичность вселенной. Понятность для нас населяемой нами вселенной означает, что наш внутренний когнитивно-перцептивный язык сопрягается (связывается или пересекается) с ней, позволяя нам идентифицировать её прямым восприятием. Именно в этом смысле мы функционируем как «операторы идентификации», используя наш когнитивный язык как язык-идентичность для идентификации вселенной и её содержимого, включая нас. Поскольку операторы идентификации используют синтаксис языка-идентичности для идентификации своих операндов (аргументов операции), они называются синтаксическими операторами или синтакторами. Телоры — это структурно сложные синтакторы, которые способны «факторизовать телезис» или актуализировать онтический потенциал и имеют достаточную сложность, чтобы сознательно генерировать внутреннее представление о себе и об их отношениях со внешней средой.
Выполняемое М грамматическое сопряжение язык | вселенная является самодуальным в том смысле, что язык и вселенная являются просто разными аспектами общей структуры, в которой они всюду пересекаются. Из этого следует, что они являются источником и конечным объектом или (дуально) конечным объектом и источником взаимного отображения дуализации (инволюции), которое обобщенно «моделирует» одно в другом. Совпадение языка, вселенной и модели делает все тройное совпадение не просто самодуальным, а триальным. (Триальность была предвидена американским логиком Чарльзом Сандерсом Пирсом (1976), чей семиотический подход к логике характеризовал знаки тремя классами: знак, объект, интерпретант.) Поскольку язык является одним из объектов совпадения (не важно, какие детали ему присущи, и вне зависимости от степени, до которой они уточнены заранее), это отношение имеет лингвистическую структуру. Точнее говоря, это новый тип «языка», который называется внутренним языком.
Внутренний язык можно понимать как триальный (трехаспектный) язык самоидентификации, который выполняет тройную работу как язык, вселенная и модель, функционируя при этом как глобальный первичный синтактор, в котором внутренне локализованные вторичные и третичные синтакторы являются точками инволюции (объектами грамматического отображения инволюции). Первичный синтактор, который также является Первичным Телором или универсальным стартовым символом М-грамматики, простирается на всё отображение инволюции от L_M до U_M, а третичные синтакторы ограничены U_M (терминальной, физической) стороной и включают фермионные (взаимоисключающие) точкообразные частицы. Вторичные синтакторы занимают терминальную часть отображения до переменной глубины, где — в их дуальной роли вторичных телоров — они заполняют причинно-следственные недочеты из-за недоопределенности третичных синтакторов Первичным Телором, который неизменен по отношению к ним, и образами которого они являются благодаря µ-морфичной инволюции (отображение грамматической инволюции также называется µ-морфизмом).
На триальной границе, где отношение семиотической репрезентации между интенсионалом и экстенсионалом сворачивается для формирования самодуальных идентичностей интенсионал | экстенсионал, как требуется систематической самодуальностью, информация «про» состояние и эволюцию системы на всех масштабах приравнивается к эволюции самой системы; эволюционируя, система «обогащает себя пониманием» своей собственной эволюции. Первичные, вторичные и третичные синтаксические операторы генерируют три уровня информации. Первичная информация связана с первичным синтактором, и точнее всего описывается как телеология; её функция — выполнять предоставление для требований самоидентификации на всех масштабах аж до третичных синтакторов. (Там, где общая полезность обогащает идентичность или «самость», утилитарное определение телеологии как максимизации общей полезности приравнивает её к самоукреплению идентичности реальности или Первичного Телора.) (2003) Третичные синтакторы — это квантовые объекты, из которых состоят вторичные синтакторы, и в которых их расширенные фенотипы материально пересекаются. Третичная информация, которая является информацией про терминальный «поверхностный» уровень эволюции и приравнивается к нему, когда атрибуты и значения сливаются как терминальные идентичности полным сопряжением L_M-U_M, — это единственный уровень, который изучается в физике и других эмпирических (терминальных, поверхностного уровня) науках. Вторичная информация заполняет причинно-следственные бреши, которые существуют благодаря недоопределению третичных состояний и взаимодействий первичной информацией, и все это является локальной свободой системы и её обитателей.
Метаформальная система чуть менее неформально
Метаформальную систему можно формально выразить почти так же, как формальный язык:
M = L_INT = Ls|Lo = (Σ={N,T}, Г_MU, S_Σ)
М в целом
Двигаясь слева направо, «M = L_INT» говорит, что Метаформальная система является внутренним языком. Полное (онтическое) самовключение необходимо и для М, и для L_INT, из чего следует структурное тождество. Оказывается, этот внутренний язык раздваивается на пару дополняющих друг друга полуяызков, Ls и Lo, которые, составляя интенсиональный и экстенсиональный аспекты М, являются дуальными друг к другу.
Обратите внимание, что «M = (Σ={N,T}, Г_MU, S_Σ)» очень близко к определению формальных языков — с сигнатурой, грамматикой и набором линейных «строк». Значение почти так же простó: фундаментальные объекты в М являются активными знаками, которые называются телорами (N) и синтакторами (T), а ее грамматика Г_MU — это операция самоидентификации, которая, так же как и в естественном языке, «идентифицирует» строки, записывая или генеративно создавая их. Иначе говоря, М эволюционирует «идентифицируя себя».
Измерения генеративного выведения и орфографии в самоидентификации ортогональны, но не полностью независимы; N и T должны быть сознательно сопряжены, чтобы телоры могли пользоваться Г_MU для получения терминальных ресурсов из Т для грамматической трансформации в N.
Метаформальный внутренний язык М является ингредиентом своего собственного синтаксиса на всех уровнях отношений. Таким образом, М — логически идемпотентен и является самоотсылкой (Ланган, 2017).
Сигнатура
В сигнатуре Σ={N,T}, подмножества N и T в Σ являются соответственно множествами нетерминальных и терминальных операторов идентичности; N = {телоры} и T = {синтакторы}. Эти два типа «активных знаков» различаются как по функциональности, так и по расположению; поскольку грамматическая продукция («вывод») происходит в N, а конкатенация («запись») в T, телоры могут генеративно создавать целые строки пространственнообразным или «нелокальным» образом, а не-телорные (третичные) синтакторы, будучи ограничены локальностью, времяподобной линейностью и неразрывностью Т, не могут.
Все знаки в Σ являются операторами идентичности, и используют М как язык идентичности для идентификации мира; а значит, они являются синтакторами. Есть три уровня синтакторов: первичный, вторичный и третичный. Первичный и третичный уровни соответственно соотносятся со вселенной в целом и с наименьшими и самыми элементарными объектами в ней; вторичный уровень промежуточный.
N и T, которые можно соответственно сравнить с внутренним и внешним и/или с ментальным и физическим аспектами реальности — и с риском чрезмерного упрощения, с программной автоматикой и её дисплеем, — имеют определенную область перекрытия; каждый телор является синтактором, но не каждый синтактор является телором. Первичный и вторичные синтакторы являются телорами, но третичные синтакторы — нет.
Телоры существуют одновременно и в N, и в T; третичные синтакторы могут существовать только в Т. Поскольку грамматика работает преимущественно в N, только телоры могут в полной мере использовать её потенциал, создавая пространственноподобные деревья вывода, которые параллельно, сквозь время, выдают терминальные строки. Но чтоб делать это осмысленно, им необходимо иметь достаточную сложность в Т для моделирования своих собственных отношений с внешней средой.
Грамматика и полумодели
Г_MU — это самодуальное отображение распределения, µ-морфизм, центростремительно сворачивающийся и состоящий из пространственноподобных метавременных деревьев разбора, создающих терминальные состояния и траектории в Т, но центробежно эволюционирующий по отношению к сим порожденным времяподобным линейным траекториям. µ-морфизм связан с операцией масштабирования, именуемой конспансией, и происходит в конспансивном многообразии, имеющем вид связки синтакторов, самодуального аналога топологической концепции, известной как «локально тривиальное расслоение».
Конспансия — это сопряжение пространственноподобных дуальных процессов: внутреннего расширения или d-эктоморфизма — отображения один-к-множеству, которое центробежно распределяет компактные идентичности (состояния, точки) к потенциалам, и коллапс или d-эндоморфизм, дуальное отображение один-к-множеству, которое центростремительно распределяет атрибуты к состояниям и точкам. (d- означает “distributive” или «распределительный».) Самодуальный морфизм конспансии соответствует конспансивной полумодели в М, которая моделирует выведение и связана с нетерминальным полуязыком Ls; она эволюционирует дискретно, и таким образом, что кажется, будто реальность эволюционирует квантово-теоретической картиной.
Терминальный аналог и дуальная модель конспансивной полумодели, линейно-эктоморфная (или l-эктоморфная) полумодель в М, связана с Lo; она основывается на дуальных (центростремительных и центробежных) конспансивных градиентах и дает совсем иную картину М, а именно классическую, которую мы видим и слышим, в которой терминальные объекты следуют линейным траекториям через «пространство-время», которое — вместе со своим физическим наполнением — приравнивается к поверхностной структуре конспансивной среды. Суперпозиция этих дуальных полумоделей отражает тот факт, что реальность эволюционирует самодуально «моделируя себя» двумя дополняющими друг друга способами, только один из которых мы на самом деле видим, когда смотрим вовне, но именно в другом пребывает настоящая динамика Г_MU.
Полуязыки
Ls и Lo — это дуальные полуязыки, на которые L_INT «раскладывается» благодаря Г_MU. Ls и Lo соответственно связаны с N и T.
Ls и Lo соответствуют лингвистической структуре, которая накладывается М на множества N и T соответственно, предоставляя элементам N и T (телорам и синтакторам) достаточную структуру и организацию для продуктивного взаимодействия и выполнения их ролей операторов идентификации. Соответствуя интенсиональному и экстенсиональному аспектам М, они остаются в суперпозиции, и Г_MU замыкает их вместе, чтобы создать самодуальные идентичности, составляющие терминальные состояния М.
Проще говоря, Ls существует «внутри» вторичных телоров N, а Lo состоит из внешних состояний и траекторий или трансформаций состояний составляющих их третичных синтакторов. Вместе с тем, как Ls трансформирует и подлежит дуальной трансформации благодаря Lo вследствие действия Г_MU, Ls конспансивно «свернут» в метавремени, а Lo «эволюционирует» линейно во времени вдоль дуальных конспансивных градиентов.
Строки
S_Σ ⊃ Т, множество «терминальных строк» в М, складывается из внешних состояний и траекторий синтакторов. S_Σ, которые связаны с полуязыком Lo, занимают «поверхностную структуру» М.
Отношения между уровнями 1, 2 и 3
Уровень 1: Естественные языки
В естественном языке высказывания создаются записью или выговариванием линейных последовательностей слов (или демонстрацией последовательностей жестов). Эмпирическое исследование грамматики естественных языков раскрывает, что под их поверхностной структурой есть глубинная структура, которая объясняется с помощью частей речи («нетерминальных символов») и синтаксических деревьев. Эти синтаксические деревья обладают словообразовательной структурой, ортогональной по отношению к линейным высказываниям, на которых они завершаются, подсказывая, что высказывания в действительности генерируются по двум осям.
Грамматика естественных языков иногда классифицируется относительно наименее мощного акцептора, или автоматики, способной распознавать генерируемые ею языки. Как определено иерархией Хомского, грамматика 0 типа генерирует неограниченные языки, требующие универсального компьютера (машины Тьюринга) з неограниченной памятью; грамматика 1 типа генерирует чувствительные к контексту языки, требующие линейно-ограниченной автоматики с памятью, соразмерной с длинной слова; грамматика 2 типа генерирует языки без контекста, требующие автоматы с магазинной памятью, обладающие таким стеком памяти, в котором фиксированное количество элементов доступно в любой точке; и грамматика 3 типа генерирует обычные языки, требующие конечной детерминистической автоматики без памяти. (Хомский, 1956)
Обратите внимание, что когда языки определяются образующей их грамматикой, а грамматика классифицирована относительно автоматики, сами языки неявно классифицированы относительно автоматики. Эта связь язык-автомат использовалась начиная с середины двадцатого века, и только приблизила неминуемое теоретическое сопряжение естественных языков с человеческим мышлением.
Уровень 2: Формальные языки и системы
В формальной системе Т, грамматика продукций формального базового языка L обрабатывает нетерминальные символы в терминальные, постепенно применяя правила трансформации к универсальному нетерминальному «начальному символу», представляющему целостность или «идентичность» L, останавливаясь на полностью сформированных выражениях, которые не содержат ничего кроме терминальных предложений, состоящих исключительно из терминальных символов и слов. К этому формальная система Т прибавляет «терминальную грамматику», состоящую из терминальных форм, которые называются аксиомами, и дают общее описание некоторой вселенной или области дискурса U вместе с правилами вывода.
Аксиомы — которые являются терминальными с точки зрения грамматической продукции и составляющих символов, но начальными по отношению к аксиоматическому описанию их вселенной — составляют границу между нетерминальным и терминальным. Они бывают двух форм: первая, часто используемая в математике, продолжает вывод в том же метавременном направлении, что и продукции, вторая типизирована непосредственно действующими «законами природы» или «законами физики», которые оцениваются численно, принимая значения предыдущих состояний как ввод, и давая на выходе следующие состояния, якобы возникающие «орфографически» во временном направлении записи символических и лексических конкатенаций или композиций. Аксиомы могут применятся к известным данным или допущениям касательно U для получения следствий с помощью правил вывода, как правило с надеждой и ожиданием получить полезную информацию — описания, предсказания или объяснения — про U.
Поскольку формальная система — это просто терминальное расширение формального языка L, все вышеупомянутые характеристики относятся и к ней. Либо ни вселенная, ни модель явно не включены в формальное описание L и T (включая случай, когда U=L или L=U), либо есть конкретное применение в разуме, как например когда формальный язык структурируется для компьютерного программирования или контроля определенной автоматической системы. В обоих случаях связь между языком и автоматикой сохраняется, особенно благодаря усиленному акценту на математической логике и вычислительных приложениях.
Уровень 3: Метаформальная система
Третий уровень теории языков — это уровень Метаформальной системы. Она напоминает любой другой язык тем, что её грамматика накладывает одновременно и продукционные правила, и орфографические правила символической конкатенации и лексической композиции на ортогональные оси генерации и записи, которые отображаются на пару ортогональных осей в конспансивной среде в U_M. Эта среда, конспансивное многообразие, эволюционирует с помощью стратифицированной генеративной самодуальной операции масштабирования, которая связана с метаформальной грамматикой Г_MU, то есть с конспансией, генерирующей логико-лингвистическую «граничную алгебру», в которой синтаксические отличия отображаются на замкнутые статичные поверхности и гиперповерхности; общая концепция связана с такими логиками и математиками как Венн, Пирс, Фреге и Джордж Спенсер Браун (1969). Она включает формальные языки и системы, нетерминальные формы и терминальные строки, и потому является лингвистической в структуре и действии. Тем не менее она включает уникальное объяснение гравитации, расширения вселенной, квантовых явлений, сознания и даже духовности. Она во всех значимых смыслах лингвистична в структуре и действии.
Касательно известной связи между языком и обработкой информации, Метаформальная система М приводит её к логическому завершению, объединяя язык с наибольшей и наиболее мощной «системой обработки информации», которую можно представить, — с реальностью в целом. В последние годы было много шума касательно так называемой «гипотезы симуляции» или «теории симуляции», которая основывается на возможности, что несмотря на её склонность всех нас водить за нос, реальность — это искусственная симуляция, которая работает на огромном космическом компьютере, на астральной автоматике, или чём-то еще. Некоторые версии этой гипотезы напоминают научно-фантастические фильмы; другие содержат идеи, зародившиеся в исследованиях «виртуальной реальности». Но наиболее логически обоснованной и потому достоверной версией этой идеи является уникальный логико-лингвистический подход КТМВ с отсылками вплоть до поздних 1980-тых (1989). КТМВ демонстрирует, что вне зависимости от точки зрения, реальность действительно можно классифицировать как «самосимуляцию» с нетерминальной грамматикой и терминальным пространством отображения, в котором мы все являемся обитателями, зрителями и в определенной мере программистами.
Но с самосимуляцией пока подождем; существует некоторая логическая неизбежность предложенного расширения. Не только такие области как физика, космология, биология, науки сознания, искусственный интеллект и философия тщетно бьются головой об концептуальную стену, когда пытаются дать ответы на метафизические вопросы, для которых обычные теоретические языки являются фундаментально неполноценными — что само по себе является сильным аргументом, чтобы поискать в строении языка недостающую концептуальную инфраструктуру, — но и сами вопросы часто искажены. Если позволите использовать предложенный выше третий уровень языка, — современные ученые и философы — телоры в состояния полного отрицания, которые — беспечно используя их собственные технические языки, для постановки сложных вопросов и поиска глубоких ответов — могут часто быть не способны ни на что кроме взора вокруг на терминальный домен T⊂Σ, вглядывания в него со всем их могуществом, и неспособности распознать даже лингвистическую поверхностную структуру соответствующего ему М-полуязыка Lo! Неудивительно, что результатов нет.
Но все равно существуют очень веские, очень логичные причины считать, что любая попытка избежать предложенного расширения будет тщетной. Давайте взглянем на это с позиции, удобной для металогики. Метатеория — это теория про теории. Теории наук и математики — это формальные системы; следовательно, та полнота, с которой М включает формальные языки и системы, включая те, что используются в математике и эмпирических науках, соответствует метатеории. Аксиома метатеории, которая связана с её объект-теориями и/или их аксиомам, называется мета-аксиомой, и то же самое справедливо для любой аксиомы, которая автологично отсылается к себе.
Можно сказать, что Метаформальная система КТМВ покоится на одной «мета-аксиоме замкнутости», на принципе Аналитической Замкнутости Реальности (АЗР), который также называется «Аксиомой идентификации (или понятности) КТМВ». Её можно выразить как «мастер-уровнение» КТМВ (которое, что интересно, можно считать логическим обобщением Уравнения Эйнштейна со средой на одной стороне, и содержанием на другой):
reality_INT =* reality_EXT
Это аксиоматическое уравнение, которое по некоторым причинам нельзя считать простым допущением, выражает естественную самодуальность М. Обратите внимание, что в придачу к тому, что оно является глобальной мета-аксиомой, слева у него есть атрибут или дескриптор, а справа набор операторов, которые являются µ-морфными самообразами единого Глобального Само-Оператора. Поэтому его без лишних нареканий можно сократить до «ГОД-Уравнения», где «ГОД» — это акроним «Глобального Оператора-Дескриптора».
Аксиоматическое уравнение расшифровывается следующим образом:
«Интенсионал реальности (глобальное свойство L_M = reality_INT) дуально тождественнен к экстенсионалу реальности (физическая вселенная U_M = reality_EXT),»
где дуальное тождество описывает случай, когда дуальные сущности совпадают как аспекты самодуальной идентичности, которая «скрепляет их вместе», используя взаимно распределенную структуру, в которой они всюду пересекаются.
АЗР также можно воспринимать как «Принцип реальности КТМВ»:
«Реальность содержит все, и только то, что реально.»
Это можно переформулировать в самостоятельное доказательство от противного:
«Если б существовало что-либо вне реальности, что бы имело влияние на реальность — например: организация, причинно-следственная связь, поддержка или что-либо еще, — тогда все отношение влияния было бы реальным, и таким образом находилось бы внутри реальности. Из этого следует, что реальность включает себя в отношении физических и метафизических функций по типу организации, причинно-следственной связи, поддержки и т.д.»
Это доказательство от противного сразу же сводит на нет любое допущение про внешнюю релевантность, подразумевая онтическую замкнутость М = реальность. Это так же означает, что уровень «реальности», который мы рассматриваем, является наиболее глубоким, то есть уровнем КТМВ. Это так, потому что выражение «реальность онтически вмещает себя» дублируется как определение реальности, с которым она является идемпотентной под включением (или если хотите, «включает себя», со всем необходимым для поддержки этого свойства; Ланган, 2017).
Критерий понятности Метаформальной системы М заменяет якобы мешающие металогические выводы, как например из Теоремы Тарского про неопределенность истины и Теоремы Гёделя про неразрешимость. Если кратко, аргументы, базирующиеся на тех результатах, которые обычно применяются явно к формальным системам, могут подрывать лишь свою собственную понятность (а также формальных систем, к которым они привязаны), подрывая М. Аналогично, до тех пор, пока понятность зависит от классической двузначной логики высказываний, отрицания, которые основываются на существовании альтернативных логических систем, например, конструктивной логики, не имеют силы. Другие системы логики могут быть уместны в рамках контекста, но любая критика, которая опирается на них, может скомпрометировать лишь их собственную понятность, противопоставляя их М.
Надеемся, что это привело читателя хотя бы чуточку ближе к крайне важному осознанию о Метаформальной системе КТМВ: как утверждается в предыдущих статьях, с большой вероятностью ей суждено быть признанной неотъемлемой частью универсального фундаментального языка науки и философии, а значит и неотъемлемой частью каркаса долгожданного моста между наукой и теологией, физикой и метафизикой, физической и ментальной реальностями. Теперь действительно должно быть очевидно, почему для этой цели создать какой-либо другой каркас будет весьма проблематично.
Copyright 2018 by C. M. Langan. Все права защищены.
Список литературы:
Chomsky, N. (1956). Three models for the description of language. IRE Transactions on Information Theory (2): 113–124. Retrieved from https://ieeexplore.ieee.org/document/1056813/
Chomsky, N. (1965). Aspects of the theory of syntax. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. Retrieved from http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/616323.pdf
Everett, H. (1956). Theory of the universal wavefunction. (Doctoral dissertation). Princeton University. Retrieved from https://www-tc.pbs.org/wgbh/nova/manyworlds/pdf/dissertation.pdf
Harris, Z. S. (1951). Methods in structural linguistics. Chicago: University of Chicago Press.
Langan, C. M. (1989) The Resolution of Newcomb’s Paradox. Retrieved from http://megasociety.org/noesis/44/newcomb.htm
Langan, C. M. (2002). The Cognitive-Theoretic Model of the Universe: A New Kind of Reality Theory. Progress in Complexity, Information, and Design, 1, 2–3. Retrieved from http://main.megafoundation.org/Langan_CTMU_092902.pdf
Langan, C. M. (2003). Cheating the millennium: The mounting explanatory debts of scientific naturalism. In W. A. Dembski (Ed.), Uncommon dissent: Intellectuals who find Darwin unconvincing, (pp. 233–262). Wilmington, Del.: ISI Books. Retrieved from https://www.scribd.com/document/24820585/Cheating-the-Millennium-The-Mounting-Explanatory-Debts-of-Scientific-Naturalism
Langan, C. M. (2017). An introduction to mathematical metaphysics. Cosmos and History: The Journal of Natural and Social Philosophy, 13, 2, 313–330. Retrieved from https://cosmosandhistory.org/index.php/journal/article/viewFile/618/1040
Langan, C. M. (2018). Metareligion as the human singularity. Cosmos and History: The Journal of Natural and Social Philosophy, 14, 1, 321–332. Retrieved from https://www.cosmosandhistory.org/index.php/journal/article/viewFile/694/1157
Peirce, C. S. (1976). The new elements of mathematics. Carolyn Eisele (Ed.). Atlantic Highlands, N.J.: Humanities Press.
Spencer-Brown, G. (1969). Laws of form. London: Allen & Unwin.
Tegmark, M. (2008). The mathematical universe. Foundations of Physics. 38 (2), 101–150. Retrieved from https://arxiv.org/pdf/0704.0646.pdf
2021 Неофициальный перевод
